Vlastnosti funkcí

y = f(x)
x, y – proměnné
x – argument funkce
y – funkční hodnota

Funkce na množině A je předpis, podle kterého je každému x náležícímu do množiny A přiřazeno právě jedno číslo y.

1. Definiční obor

  • symbol: D(f)
  • Množina všech hodnot, pro které je funkce definována – tedy všechny hodnoty, kterých může nabývat proměnná x.

2. Obor hodnot

  • symbol: H(f)
  • Množina všech funkčních hodnot, kterých může funkce nabývat – tedy všechny hodnoty, kterých může nabývat proměnná y.

Příklad

Monotonnost funkce
D(f)H(f)
f1(–4; 4〉 (–2; 3〉
f2(–∞; +∞){–3}
f3(–∞; +∞)〈–1; +∞)

3. Monotonnost funkce

  • Monotonnost vyjadřuje, zda je funkce v celém definičním oboru nebo na určitém intervalu rostoucí, klesající nebo konstantní.

Příklad

Monotonnost funkce
  • Funkce f1 je rostoucí.
  • Funkce f2 je konstantní.
  • Funkce f3 je v intervalu (–∞; 0) klesající a v intervalu (0; +∞) rostoucí.

4. Prostá funkce

  • Funkce je prostá, pokud pro dvě různá x z definičního oboru existují vždy odlišné funkční hodnoty y.
  • Žádná funkční hodnota y se tedy neopakuje:
  • x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)

Příklad

Prostá funkce
  • Funkce f1 je prostá.
  • Funkce f2 není prostá.

5. Sudá funkce

  • Funkce je sudá, pokud pro všechna x z definičního oboru platí: f(–x) = f(x).
  • Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.

Příklad

Sudá funkce
  • Příklady sudých funkcí.

6. Lichá funkce

  • Funkce je lichá, pokud pro všechna x z definičního oboru platí: f(–x) = –f(x).
  • Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic.

Příklad

Lichá funkce
  • Příklady lichých funkcí.

7. Omezená funkce

  • Funkce je omezená shora, pokud existuje takové číslo, které je větší než všechny funkční hodnoty y.
  • Funkce je omezená zdola, pokud existuje takové číslo, které je menší než všechny funkční hodnoty y.
  • Pokud funkce splňuje obě dvě podmínky, je omezená oboustranně.

8. Extrémy funkce

  • Funkce má v bodě a maximum, pokud pro všechna x \in D(f) platí f(x) < f(a).
  • Funkce má v bodě b minimum, pokud pro všechna x \in D(f) platí f(x) > f(b).

Příklad

Extrémy funkce
  • Funkce f1 je omezená (shora i zdola), má minimum v bodě [–4; –2] a maximum v bodě [4; 3].
  • Funkce f2 není omezená a nemá tedy žádné minimum ani maximum.
  • Funkce f3 je omezená zdola, má minimum v bodě [0; –1].

9. Periodicita

  • Periodická funkce je taková funkce, jejíž funkční hodnoty y se pravidelně opakují s určitou periodou T .
  • Pro všechna x z definičního oboru funkce platí: f(x + T) = f(x)
  • Příkladem periodických funkcí jsou goniometrické funkce (sinus, cosinus, tangens, cotangens) opakující se s periodou 360 °.

Příklad

Periodická funkce
  • Příklad periodické funkce – sinus (T – perioda).

10. Inverzní funkce

  • Inverzní funkce může existovat pouze k prosté funkci.
  • Inverzní funkce k prosté funkci f se označuje f –1. Platí:
    • D(f-1) = H(f)
    • Každému D(f-1) = H(f) je přiřazeno právě to D(f-1) = H(f), pro které je D(f-1) = H(f).
  • Pokud jsou funkce f a f –1 znázorněny v jedné soustavě souřadnic, jsou osově souměrné podle přímky y = x.

Příklad

Inverzní funkce

Inverzní funkce

Rádi obdržíme vaše náměty a připomínky.
info@vypocitejto.cz
Provozuje od roku 2013 Adam Kašpárek, IČ: 02394260.
calculat.org TOPlisttop

Web »Vypočítej to« využívá k poskytování služeb soubory cookies.

Další informace

Nemáte rádi reklamy? My také ne, ale příjmy z reklamy umožňují provoz našich internetových stránek a bezplatné poskytování služeb našim návštěvníkům. Zvažte prosím, zda nezrušíte blokování reklam na tomto webu. Děkujeme.