Intervaly

Interval je množina reálných čísel ležících mezi dvěma určenými čísly – mezemi intervalu. Na číselné ose je lze znázornit úsečkou, polopřímkou nebo přímkou.

Přehled

Množiny reálných čísel x, pro která platízápisgrafické
znázornění
Omezené intervaly
a < x < b(a,b)x \in (a,b)
a < x \leq b(a,b>x \in (a,b>
a \leq x < b<a,b)x \in <a,b)
a \leq x \leq b<a,b>x \in <a,b>
Neomezené intervaly
x > a(a,+∞)x \in (a,+∞)
x < a(-∞,a)x \in (-∞,a)
x \leq a<a,+∞)x \in <a,+∞)
x \geq a(-∞,a>x \in (-∞,a>
x > a(-∞,+∞)x \in (-∞,+∞)

Rozdělení intervalů

  • omezené: mají dva krajní body (meze), na číselné ose je tedy lze znázornit úsečkou.
    • otevřené: meze nepatří do intervalu, graficky se na číselné ose znázorňují prádnými kroužky a zapisují se s kulatými závorkami.
    • uzavřené: meze patří do intervalu, graficky se znázorňují plnými kroužky a zapisují se s ostrými závorkami.
    • polouzavřené: jedna mez do intervalu patří a druhá nikoliv (zleva uzavřený, zprava otevřený a naopak).
  • neomezené: mají jednu mez, od které směřují k ± ∞, na číselné ose se tedy znázorňují polopřímkou. Interval (-∞,+∞), který nemá žádnou mez, zahrnuje všechna reálná čísla (značka: R) a nazývá se oboustaně neomezený.

Množinové operace s intervaly

Vzhledem k tomu, že intervaly jsou množiny, můžeme s nimi provádět množinové operace. Při práci s intervaly je nutné věnovat zvýšenou pozornost tomu, zda krajní body (meze) do intervalu patří či ne. Níže jsou předvedeny množinové operace na příkladu intervalů:

A = <-1,3>; B = (1,5)

Sjednocení intervalů

• zápis: A \cup B

Sjednocení intervalů A a B představuje jejich spojení do jednoho celku.

Sjednocení intervalů

Sjednocení intervalů - popis

Obr. 1: Sjednocení intervalů A = 〈-1,3〉 a B = (1,5).

V případě, že se intervaly nepřekrývají, tvoří jejich sjednocení samotné nesouvislé intervaly:

Sjednocení intervalů

Sjednocení intervalů - popis

Obr. 2: Sjednocení intervalů C = (-∞,1〉 a D = (3,5〉.

Průnik intervalů

• zápis: A \cap B

Průnik intervalů A a B tvoří ty jejich části, které se vzájemně překrývají.

Průnik intervalů

Průnik intervalů - popis

Obr. 3: Průnik intervalů A = 〈-1,3〉 a B = (1,5).

V případě určování průniku intervalů, které mají stejnou mez, je důležité věnovat pozornost tomu, zda tento krajní bod patří do obou intervalů:

Průnik intervalů

Průnik intervalů - popis

Obr. 4: V prvním případě je průnikem intervalů –1, protože patří do obou intervalů. Dvojice intervalů v druhém případu nemá žádný společný prvek, protože 5 patří jen do prvního z nich, takže jejich průnikem je prázdná množina (značka: \emptyset).

Rozdíl intervalů

• zápis: A \setminus B

Rozdíl intervalu A a B tvoří ta část A, která se nepřekrývá s B.

Rozdíl intervalů

Rozdíl intervalů - popis

Obr. 5: Rozdíl intervalů A = 〈-1,3〉 a B = (1,5).

Rozdíl intervalů A \setminus B:

Rozdíl intervalů

Rozdíl intervalů - popis

Obr. 6: Rozdíl intervalů B = (1,5) a A = 〈-1,3〉.

Doplněk intervalu

Doplněk intervalu A (jakožto podmnožiny oboru reálných čísel) je tvořen všemi reálnými čísly, která interval A nezahrnuje.

Doplněk intervalu

Doplněk intervalu - popis

Obr. 7: Doplněk intervalu A = 〈-1,3〉 v oboru reálných čísel (značka: R).

Související odkazy

Rádi obdržíme vaše náměty a připomínky.
info@vypocitejto.cz
Provozuje od roku 2013 Adam Kašpárek, IČ: 02394260.
calculat.org TOPlisttop

Web »Vypočítej to« využívá k poskytování služeb soubory cookies.

Další informace

Nemáte rádi reklamy? My také ne, ale příjmy z reklamy umožňují provoz našich internetových stránek a bezplatné poskytování služeb našim návštěvníkům. Zvažte prosím, zda nezrušíte blokování reklam na tomto webu. Děkujeme.