Intervaly

Interval je množina reálných čísel ležících mezi dvěma určenými čísly – mezemi intervalu.
Na číselné ose je lze znázornit úsečkou, polopřímkou nebo přímkou.

Přehled

Množiny reálných čísel x, pro která platí	zápis	grafické znázornění
Omezené intervaly
		$x \in (a,b)$
$a < x \leq b$		$x \in (a,b>$
$a \leq x < b$		$x \in <a,b)$
$a \leq x \leq b$		$x \in <a,b>$
Neomezené intervaly
		$x \in (a,+∞)$
		$x \in (-∞,a)$
$x \leq a$		$x \in <a,+∞)$
$x \geq a$		$x \in (-∞,a>$
		$x \in (-∞,+∞)$

Rozdělení intervalů

omezené: mají dva krajní body (meze), na číselné ose je tedy lze znázornit úsečkou.
- otevřené: meze nepatří do intervalu, graficky se na číselné ose znázorňují prádnými kroužky a zapisují se s kulatými závorkami.
- uzavřené: meze patří do intervalu, graficky se znázorňují plnými kroužky a zapisují se s ostrými závorkami.
- polouzavřené: jedna mez do intervalu patří a druhá nikoliv (zleva uzavřený, zprava otevřený a naopak).
neomezené: mají jednu mez, od které směřují k ± ∞, na číselné ose se tedy znázorňují polopřímkou. Interval , který nemá žádnou mez, zahrnuje všechna reálná čísla (značka: R) a nazývá se oboustaně neomezený.

Množinové operace s intervaly

Vzhledem k tomu, že intervaly jsou množiny, můžeme s nimi provádět množinové operace. Při práci s intervaly je nutné věnovat zvýšenou pozornost tomu, zda krajní body (meze) do intervalu patří či ne. Níže jsou předvedeny množinové operace na příkladu intervalů:

Sjednocení intervalů

• zápis: $A \cup B$

Sjednocení intervalů A a B představuje jejich spojení do jednoho celku.

Obr. 1: Sjednocení intervalů A = 〈-1,3〉 a B = (1,5).

V případě, že se intervaly nepřekrývají, tvoří jejich sjednocení samotné nesouvislé intervaly:

Obr. 2: Sjednocení intervalů C = (-∞,1〉 a D = (3,5〉.

Průnik intervalů

• zápis: $A \cap B$

Průnik intervalů A a B tvoří ty jejich části, které se vzájemně překrývají.

Obr. 3: Průnik intervalů A = 〈-1,3〉 a B = (1,5).

V případě určování průniku intervalů, které mají stejnou mez, je důležité věnovat pozornost tomu, zda tento krajní bod patří do obou intervalů:

Obr. 4: V prvním případě je průnikem intervalů –1, protože patří do obou intervalů. Dvojice intervalů v druhém případu nemá žádný společný prvek, protože 5 patří jen do prvního z nich, takže jejich průnikem je prázdná množina (značka: $\emptyset$ ).