Výroky

Přehled symbolů

značka	název	význam
$\neg a$	negace výroku a
$a \wedge b$	konjunkce	a a (zároveň) b
$a \vee b$	disjunkce	a nebo b
$a \Rightarrow b$	implikace	jestliže a, pak b
$a \Leftrightarrow b$	ekvivalence	a je ekvivalentní s b

Výrok je sdělení (oznamovací věta), u kterého je možné určit, jestli je nebo není pravdivé. Na základě toho výrokům přiřazujeme pravdivostní hodnoty:

0 – výrok je nepravdivý
1 – výrok je pravdivý

Negace výroku a je výrok: „Není pravda, ža a“. Značí se ¬a. Je-li výrok a pravdivý, pak je výrok ¬a nepravdivý a naopak, což je vyjádřeno v následující tabulce pravdivostních hodnot:

a	¬a
1	0
0	1

Tab. 1: Tabulka pravdivostních hodnot negace výroku.

Složené výroky

Konjunkce

• zápis: $a \wedge b$

Konjunkce výroků vznikne jejich spojením spojkou „a“. Zapisuje se $a \wedge b$ , což znamená „a a b“, případně „a a zároveň b“.

Konjunkce je pravdivá pouze v tom případě, kdy jsou pravdivé oba výroky, které ji tvoří:

a	b	$a \wedge b$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Tab. 2: Tabulka pravdivostních hodnot pro konjunkci dvou výroků.

Disjunkce

• zápis: $a \vee b$

Disjunkce výroků vznikne jejich spojením spojkou „nebo“. Zapisuje se $a \vee b$ , což znamená „a nebo b“.

Disjunkce je pravdivá pouze v tom případě, kdy je pravdivý alespoň jeden z výroků, které ji tvoří:

a	b	$a \vee b$
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Tab. 3: Tabulka pravdivostních hodnot pro disjunkci dvou výroků.

Implikace

• zápis: $a \Rightarrow b$

Implikace výroků vznikne jejich spojením obratem „jestliže, pak“. Zapisuje se $a \Rightarrow b$ , což znamená „jestliže a, pak b“, případně „z a plyne b“ nebo „platí-li a, platí b“. Výrok a se za této situace nazývá předpoklad a výrok b závěr.

Implikace je pravdivá ve všech případech, kromě toho, kdy z pravdivého předpokladu plyne nepravdivý závěr:

a	b	$a \Rightarrow b$	$b \Rightarrow a$
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	1

Tab. 4: Tabulka pravdivostních hodnot pro implikaci dvou výroků.

$b \Rightarrow a$ se nazývá obrácená imlikace k $a \Rightarrow b$ . Z tab. 4 je zřejmé, že z pravdivosti implikace $a \Rightarrow b$ nevyplývá pravdivost obrácené implikace $b \Rightarrow a$ . Na rozdíl od konjunkce $a \wedge b$ a disjunkce $a \vee b$ v případě implikace nelze pořadí výroků zaměnit, aniž by se změnila pravdivostní hodnota složeného výroku.

Ekvivalence

• zápis: $a \Leftrightarrow b$

Ekvivalence výroků a, b je konjunkce implikace $a \Rightarrow b$ a obrácené implikace $b \Rightarrow a$ :

$(a \Rightarrow b)^(b \Rightarrow a)$

Tedy: „z a plyne b a zároveň z b plyne a“. Zápis $a \Leftrightarrow b$ čteme „a je ekvivalentní s b,“ případně „a platí právě tehdy, když platí .“.

a	b	$a \Rightarrow b$	$b \Rightarrow a$	$(a \Rightarrow b)^(b \Rightarrow a)$ neboli: $a \Leftrightarrow b$
1	1	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Tab. 4: Tabulka pravdivostních hodnot pro ekvivalenci dvou výroků.

Negace složených výroků

Pro libovolné výroky a a b platí:

Kvantifikované výroky

Pro vymezení prvků, kterých se vlastnost týká, se užívají kvantifikátory:

symbol	název	význam
	obecný kvantifikátor	vlastnost platí pro všechny prvky („každý...“)
	existenční kvantifikátor	existuje alespoň jeden prvek, pro který vlastnost platí („alespoň jeden...“)

Př. 1:

$\forall n \in N;\ n > 0$

Zápis výše znamená: „Každé n náležející do oboru přirozených čísel (značka: N) je větší než nula,“ tedy jednodušeji řešeno: „Každé přirozené číslo je kladné.“ Jedná se tedy o pravdivý výrok.

Př. 2:

$\exists n \in N;\ n > 0$

Druhý zápis znamená: „Existuje alespoň jedno n náležející do oboru přirozených čísel větší než nula,“ tedy jednodušeji řešeno: „Alespoň jedno přirozené číslo je kladné.“ Jedná se tedy rovněž o pravdivý výrok.

Kvantifikované výroky a jejich negace

a	¬a
Každý... je...	Alespoň jeden... není...
Žádný... není...	Alespoň jeden... je...
Alespoň k... je...	Nejvýše (k – 1)... je...
Nejvýše k... je...	Alespoň (k + 1)... je...
Právě k... je...	Nejvýše (k – 1) nebo alespoň (k + 1)... je...