Vlastnosti funkcí
y = f(x) |
x, y – proměnné |
x – argument funkce |
y – funkční hodnota |
1. Definiční obor
- symbol: D(f)
- Množina všech hodnot, pro které je funkce definována – tedy všechny hodnoty, kterých může nabývat proměnná x.
2. Obor hodnot
- symbol: H(f)
- Množina všech funkčních hodnot, kterých může funkce nabývat – tedy všechny hodnoty, kterých může nabývat proměnná y.
Příklad
| D(f) | H(f) |
f1 | (–4; 4〉 | (–2; 3〉 |
f2 | (–∞; +∞) | {–3} |
f3 | (–∞; +∞) | 〈–1; +∞) |
3. Monotonnost funkce
- Monotonnost vyjadřuje, zda je funkce v celém definičním oboru nebo na určitém intervalu rostoucí, klesající nebo konstantní.
Příklad
- Funkce f1 je rostoucí.
- Funkce f2 je konstantní.
- Funkce f3 je v intervalu (–∞; 0) klesající a v intervalu (0; +∞) rostoucí.
4. Prostá funkce
- Funkce je prostá, pokud pro dvě různá x z definičního oboru existují vždy odlišné funkční hodnoty y.
- Žádná funkční hodnota y se tedy neopakuje:
Příklad
- Funkce f1 je prostá.
- Funkce f2 není prostá.
5. Sudá funkce
- Funkce je sudá, pokud pro všechna x z definičního oboru platí: f(–x) = f(x).
- Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.
Příklad
6. Lichá funkce
- Funkce je lichá, pokud pro všechna x z definičního oboru platí: f(–x) = –f(x).
- Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic.
Příklad
7. Omezená funkce
- Funkce je omezená shora, pokud existuje takové číslo, které je větší než všechny funkční hodnoty y.
- Funkce je omezená zdola, pokud existuje takové číslo, které je menší než všechny funkční hodnoty y.
- Pokud funkce splňuje obě dvě podmínky, je omezená oboustranně.
8. Extrémy funkce
- Funkce má v bodě a maximum, pokud pro všechna platí .
- Funkce má v bodě b minimum, pokud pro všechna platí .
Příklad
- Funkce f1 je omezená (shora i zdola), má minimum v bodě [–4; –2] a maximum v bodě [4; 3].
- Funkce f2 není omezená a nemá tedy žádné minimum ani maximum.
- Funkce f3 je omezená zdola, má minimum v bodě [0; –1].
9. Periodicita
- Periodická funkce je taková funkce, jejíž funkční hodnoty y se pravidelně opakují s určitou periodou T .
- Pro všechna x z definičního oboru funkce platí: f(x + T) = f(x)
- Příkladem periodických funkcí jsou goniometrické funkce (sinus, cosinus, tangens, cotangens) opakující se s periodou 360 °.
Příklad
- Příklad periodické funkce – sinus (T – perioda).
10. Inverzní funkce
- Inverzní funkce může existovat pouze k prosté funkci.
- Inverzní funkce k prosté funkci f se označuje f –1. Platí:
- Každému je přiřazeno právě to ,
pro které je .
- Pokud jsou funkce f a f –1 znázorněny v jedné soustavě souřadnic, jsou osově souměrné podle přímky y = x.
Příklad
Uživatelské hodnocení
★
★
★
★
★
4,4/5
(45×)