Vlastnosti funkcí

1. Definiční obor

• symbol: D(f)
• Množina všech hodnot, pro které je funkce definována – tedy všechny hodnoty, kterých může nabývat proměnná x.

2. Obor hodnot

• symbol: H(f)
• Množina všech funkčních hodnot, kterých může funkce nabývat – tedy všechny hodnoty, kterých může nabývat proměnná y.

Příklad

3. Monotonnost funkce

• Monotonnost vyjadřuje, zda je funkce v celém definičním oboru nebo na určitém intervalu rostoucí, klesající nebo konstantní.

Příklad

• Funkce f₁ je rostoucí.
• Funkce f₂ je konstantní.
• Funkce f₃ je v intervalu (–∞; 0) klesající a v intervalu (0; +∞) rostoucí.

4. Prostá funkce

• Funkce je prostá, pokud pro dvě různá x z definičního oboru existují vždy odlišné funkční hodnoty y.
• Žádná funkční hodnota y se tedy neopakuje:
• 

Příklad

• Funkce f₁ je prostá.
• Funkce f₂ není prostá.

5. Sudá funkce

• Funkce je sudá, pokud pro všechna x z definičního oboru platí: f(–x) = f(x).
• Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.

Příklad

• Příklady sudých funkcí.

6. Lichá funkce

• Funkce je lichá, pokud pro všechna x z definičního oboru platí: f(–x) = –f(x).
• Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic.

Příklad

• Příklady lichých funkcí.

7. Omezená funkce

• Funkce je omezená shora, pokud existuje takové číslo, které je větší než všechny funkční hodnoty y.
• Funkce je omezená zdola, pokud existuje takové číslo, které je menší než všechny funkční hodnoty y.
• Pokud funkce splňuje obě dvě podmínky, je omezená oboustranně.

8. Extrémy funkce

• Funkce má v bodě a maximum, pokud pro všechna platí .
• Funkce má v bodě b minimum, pokud pro všechna platí .

Příklad

• Funkce f₁ je omezená (shora i zdola), má minimum v bodě [–4; –2] a maximum v bodě [4; 3].
• Funkce f₂ není omezená a nemá tedy žádné minimum ani maximum.
• Funkce f₃ je omezená zdola, má minimum v bodě [0; –1].

9. Periodicita

• Periodická funkce je taková funkce, jejíž funkční hodnoty y se pravidelně opakují s určitou periodou T .
• Pro všechna x z definičního oboru funkce platí: f(x + T) = f(x)
• Příkladem periodických funkcí jsou goniometrické funkce (sinus, cosinus, tangens, cotangens) opakující se s periodou 360 °.

Příklad

• Příklad periodické funkce – sinus (T – perioda).

10. Inverzní funkce

• Inverzní funkce může existovat pouze k prosté funkci.
• Inverzní funkce k prosté funkci f se označuje f ^–1. Platí:
  • 
  • Každému je přiřazeno právě to , pro které je .
• Pokud jsou funkce f a f ^–1 znázorněny v jedné soustavě souřadnic, jsou osově souměrné podle přímky y = x.

Příklad