Výroky

Přehled symbolů

značkanázevvýznam
\neg anegace výroku a
a \wedge bkonjunkcea a (zároveň) b
a \vee bdisjunkcea nebo b
a \Rightarrow bimplikacejestliže a, pak b
a \Leftrightarrow bekvivalencea je ekvivalentní s b

Výrok je sdělení (oznamovací věta), u kterého je možné určit, jestli je nebo není pravdivé. Na základě toho výrokům přiřazujeme pravdivostní hodnoty:

  • 0 – výrok je nepravdivý
  • 1 – výrok je pravdivý

Negace výroku a je výrok: »Není pravda, ža a«. Značí se ¬a. Je-li výrok a pravdivý, pak je výrok ¬a nepravdivý a naopak, což je vyjádřeno v následující tabulce pravdivostních hodnot:

a¬a
10
01

Tab. 1: Tabulka pravdivostních hodnot negace výroku.

Složené výroky

Konjunkce

• zápis: a \wedge b

Konjunkce výroků vznikne jejich spojením spojkou »a«. Zapisuje se a \wedge b, což znamená »a a b«, případně »a a zároveň b«.

Konjunkce je pravdivá pouze v tom případě, kdy jsou pravdivé oba výroky, které ji tvoří:

aba \wedge b
111
100
010
000

Tab. 2: Tabulka pravdivostních hodnot pro disjunkci dvou výroků.

Disjunkce

• zápis: a \vee b

Disjunkce výroků vznikne jejich spojením spojkou »nebo«. Zapisuje se a \vee b, což znamená »a nebo b«.

Disjunkce je pravdivá pouze v tom případě, kdy je pravdivý alespoň jeden z výroků, které ji tvoří:

aba \vee b
111
101
011
000

Tab. 3: Tabulka pravdivostních hodnot pro konjunkci dvou výroků.

Implikace

• zápis: a \Rightarrow b

Implikace výroků vznikne jejich spojením obratem »jestliže, pak«. Zapisuje se a \Rightarrow b, což znamená »jestliže a, pak b«, případně »z a plyne b« nebo »platí-li a, platí b«. Výrok a se za této situace nazývá předpoklad a výrok b závěr.

Implikace je pravdivá ve všech případech, kromě toho, kdy z pravdivého předpokladu plyne nepravdivý závěr:

aba \Rightarrow bb \Rightarrow a
1111
1001
0110
0011

Tab. 4: Tabulka pravdivostních hodnot pro implikaci dvou výroků.

b \Rightarrow a se nazývá obrácená imlikace k a \Rightarrow b. Z tab. 4 je zřejmé, že z pravdivosti implikace a \Rightarrow b nevyplývá pravdivost obrácené implikace b \Rightarrow a. Na rozdíl od konjunkce a \wedge b a disjunkce a \vee b v případě implikace nelze pořadí výroků zaměnit, aniž by se změnila pravdivostní hodnota složeného výroku.

Ekvivalence

• zápis: a \Leftrightarrow b

Ekvivalence výroků a, b je konjunkce implikace a \Rightarrow b a obrácené implikace b \Rightarrow a:

(a \Rightarrow b)^(b \Rightarrow a)

Tedy: »z a plyne b a zároveň z b plyne a«. Zápis a \Leftrightarrow b čteme »a je ekvivalentní s b,« případně »a platí právě tehdy, když platí .«.

aba \Rightarrow bb \Rightarrow a(a \Rightarrow b)^(b \Rightarrow a)
neboli:
a \Leftrightarrow b
11111
10010
01100
00111

Tab. 4: Tabulka pravdivostních hodnot pro ekvivalenci dvou výroků.

Negace složených výroků

Pro libovolné výroky a a b platí:

Negace složených výroků

Kvantifikované výroky

Pro vymezení prvků, kterých se vlastnost týká, se užívají kvantifikátory:

symbolnázevvýznam
Obecný kvantifikátorobecný
kvantifikátor
vlastnost platí pro všechny prvky (»každý...«)
Existenční kvantifikátorexistenční
kvantifikátor
existuje alespoň jeden prvek, pro který vlastnost platí (»alespoň jeden...«)

Př. 1:

\forall n \in N;\ n > 0

Zápis výše znamená: »Každé n náležející do oboru přirozených čísel (značka: N) je větší než nula,« tedy jednodušeji řešeno: »Každé přirozené číslo je kladné.« Jedná se tedy o pravdivý výrok.

Př. 2:

\exists n \in N;\ n > 0

Druhý zápis znamená: »Existuje alespoň jedno n náležející do oboru přirozených čísel větší než nula,« tedy jednodušeji řešeno: »Alespoň jedno přirozené číslo je kladné.« Jedná se tedy rovněž o pravdivý výrok.

Kvantifikované výroky a jejich negace

a¬a
Každý... je...Alespoň jeden... není...
Žádný... není...Alespoň jeden... je...
Alespoň k... je...Nejvýše (k – 1)... je...
Nejvýše k... je...Alespoň (k + 1)... je...
Právě k... je...Nejvýše (k – 1) nebo alespoň (k + 1)... je...

Související odkazy

Rádi obdržíme vaše náměty a připomínky.
info@vypocitejto.cz
Provozuje od roku 2013 Adam Kašpárek, IČ: 02394260.
calculat.org TOPlisttop

Web »Vypočítej to« využívá k poskytování služeb soubory cookies.

Další informace

Nemáte rádi reklamy? My také ne, ale příjmy z reklamy umožňují provoz našich internetových stránek a bezplatné poskytování služeb našim návštěvníkům. Zvažte prosím, zda nezrušíte blokování reklam na tomto webu. Děkujeme.